Soit un carré WXYZ de côté 2 cm. Un trapèze ABCD a la même aire que ce carré. On sait que : La hauteur du trapèze est égale au côté du carré, La base CD est 3 f

Étape 1 – Aire du carré

Le carré WXYZ a un côté de 2 cm.

Formule de l'aire du carré : C²

Ici : \(\text{Aire}_{\text{carré}} = 2 \times 2 = 4cm² \)

Étape 2 – Aire du trapèze

On considère un trapèze ABCD tel que :

• AB = x 

• CD = 3x 

• Hauteur = 2cm (La même valeur que le côté du carré)

Ici on a : 

\(\text{Aire}_{\text{trapèze}} = \frac{(AB + CD) \times h}{2} \)

\(\text{Aire}_{\text{trapèze}} = \frac{(x + 3x) \times 2}{2} = \frac{4x \times 2}{2} = 4x \)

On sait que cette aire est égale à celle du carré, soit : 

\(4x = 4 \Rightarrow x = 1 \)

Donc AB = 1 et CD = 3

Étape 3 – Longueur des côtés obliques

Comme ABCD est isocèle, si on trace deux hauteurs, on peut obtenir deux triangles rectangles avec les côtés obliques : 

On peut appliquer le théorème de Pythagore pour obtenir : 

\(\text{Côté oblique} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)

Étape 4 – Périmètre du trapèze

On peut calculer \(\text{Périmètre}_{\text{trapèze}} = 1 + 3 + 2 \times \sqrt{5} = 4 + 2\sqrt{5} \)

Soit la réponse C)